Équations différentielles en Physique et Sciences Naturelles

Introduction aux Équations Différentielles

Les équations différentielles sont des outils mathématiques puissants qui décrivent comment une quantité change par rapport à une autre. Elles sont omniprésentes en physique et en sciences naturelles, modélisant une grande variété de phénomènes dynamiques.

Définition formelle

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue et ses dérivées. Par exemple :

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

où \(f(x, y)\) est une fonction donnée de x et y.

Types d'équations différentielles

Ordinaires (EDO) vs. Partielles (EDP)
Linéaires vs. Non-linéaires
Premier ordre, second ordre, etc.

Applications en Physique

1. Loi de refroidissement de Newton

Décrit comment un objet se refroidit dans un environnement plus froid :

\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_a) \]

où T est la température de l'objet, \(T_a\) est la température ambiante, et k est une constante.

2. Oscillateur harmonique

Modélise le mouvement d'un système masse-ressort :

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \]

où x est le déplacement et \(\omega\) est la fréquence angulaire.

3. Équation de Schrödinger (Mécanique Quantique)

Décrit l'évolution d'une fonction d'onde quantique :

\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi \]

où \(\psi\) est la fonction d'onde, \(\hbar\) est la constante de Planck réduite, m est la masse, et V est l'énergie potentielle.

Simulation Interactive : Décroissance Radioactive

La décroissance radioactive est modélisée par l'équation différentielle :

\[ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]

où N est le nombre d'atomes radioactifs, t est le temps, et \(\lambda\) est la constante de désintégration.

Demi-vie (années):

Quantité initiale (atomes):